Die quadratische Gleichung

Man bezeichnet Gleichungen, in denen die höchste vorkommende Potenz
der Unbekannten die 2. Potenz ist, als Gleichung 2. Grades oder
als quadratische Gleichung.

Normalform:

           x^2       +     px     +     q         =  0
      quadratisches     lineares     absolutes
          Glied          Glied         Glied                           

Lösung:

x^2 + px + q       = 0
x^2 + px           = - q                          / + (p/2)^2
x^2 + px + (p/2)^2 = (p/2)^2 - q
(x + p/2)^2        = (p/2)^2 - q                  / SQR
x + p/2            = ± SQR ((p/2)^2 - q)
                x1 = - p/2 + SQR ((p/2)^2 - q)
                x2 = - p/2 - SQR ((p/2)^2 - q)

Beispiel:

x^2 + 8x + 7       = 0
x^2 + 8x           = -7                           / + (8/2)^2
x^2 + 8x + (8/2)^2 = (8/2)^2 - 7
(x + 4)^2          = 4^2 - 7
(x + 4)^2          = 16 - 7                       / SQR
x + 4              = ± SQR(16 - 7)
                x1 = - 4 + SQR 9
                x1 = - 4 + 3
                x1 = - 1

                x2 = - 4 - SQR 9
                x2 = - 4 - 3
                x2 = - 7



Sonderfälle:

Da p und q auch Null werden können, ergeben sich 3 Sonderfälle
der Normalform:

a)  p = 0    / rein-quadratische Gleichung:


           x^2 + q = 0

Lösung:

           x^2 + q = 0
           x^2     = + q
                x  = ± SQR q
                x1 = + SQR q
                x2 = - SQR q


Beispiel:

          x^2 - 49 = 0
          x^2      = 49
                x  = ± SQR 49
                x1 = + 7 
                x2 = - 7


b)  q = 0    / unvollständige quadratische Gleichung:

          x^2 + px = 0
          
Lösungen:

          x^2 + px = 0
         x (x + p) = 0
     1. Möglichkeit     x = 0
     2. Möglichkeit x + p = 0
                        x = -p

     x1 = 0      x2 = -p

Beispiel:

          x^2 + 5x = 0
         x (x + 5) = 0
                x1 = 0
                x2 = -5


c)  p = 0 und q = 0:

               x^2 = 0

Dieser Fall mit der Lösung x = ± 0 kann für die weitere Betrachtung ausscheiden.


Vietasche Wurzelsätze:

           x1 + x2 = -p
           x1 * x2 = +q

Diese Zusammenhänge liefern eine sehr rasche Kontrollmöglichkeit für die
Lösung einer quadratischen Gleichung.

Beispiel:

      x^2 + 8x + 7 = 0          p = 8      q = 7
                x1 = -1
                x2 = -7


         x1 +   x2 = -p
       (-1) + (-7) = -8

        x1  *  x2  = q
       (-1) * (-7) = 7  


Aufgaben:

 1.   3x^2 = 48               x1 = 4      x2 = -4

 2.   3x^2 - 6x = 0           x1 = 0      x2 = 2

 3.   (x - 5)^2 = 144         x1 = 17     x2 = -7

 4.   x + 4 = SQR(8x + 32)    x1 = 4      x2 = -4

 5.   x^2 + 2x + 1 = 0        x1 = -1     x2 = -1

 6.   8x^2 = 2x/3             x1 = 0      x2 = 1/12

 7.   (x - a)*(x - b) = 0     x1 = a      x2 = b

 8.   24x^2 - 4x - 4 = 0      x1 = 1/2    x2 = - 1/3

 9.   x^2 + 14 - 9x = 0       x1 = 7      x2 = 2

10.   3x^2 - 25x + 8 = 0      x1 = 8      x2 = 1/3

11.   x^2 - 14x = -33         x1 = 11     x2 = 3

12.   x + 1 = 2/x             x1 = -2     x2 = 1

13.   15 + 4/x = 36/(x + 1)   x1 = 4/5    x2 = 1/3

  

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